2.6.2. Начальные и краевые условия для уравнения
теплопроводности в пространстве
Начальное условие для уравнения теплопроводности в пространстве
определяется равенством
0
, , , , , .
t
u x y z t f x y z
(2.53)
Оно задает температуру каждой точки тела в начальный момент времени
0
0t
( , ,f x y z
– известная функция).
Пусть на поверхности
,
ограничивающей некоторое тело,
происходит теплообмен с окружающей средой. Предположим, что в точке
,,M
границы
тело имеет температуру
, , , ,u u t
а
окружающая среда –
, , , ,u u t
разность
uu
называется перепадом
температур. Теплообмен протекает по закону: поток тепла изнутри тела
через любую часть поверхности
пропорционален перепаду температур
,uu
т. е.
,Q h u u
где
h
– коэффициент теплообмена;
h
может
меняться от точки к точке, но в случае однородности тела и среды
const.h
Выделим часть
1
поверхности
.
Тепловой поток через
1
за время
t
выразиться формулой
1
1
.Q t h u u d
С другой стороны, в соответствии с формулой
n
Q t a d
получаем
1
2
.
n
Q t a d
Вследствие того, что тепловой поток, уходящий в окружающее
пространство, равен тепловому потоку, подходящему изнутри тела, то
12
QQ
, т. е.
11
.
n
a d h u u d
Это равенство выполняется для любой части
1
границы
.
Следовательно, на границе
должно выполняться условие
.
n
a h u u
Поскольку
grad
n
u
a a n k u n k
n
,
где
u
n
– производная функции
u
в точке границы по направлению
внешней нормали к поверхности
,
то последнее равенство можно
представить в виде
.
u
k h u u
n
(2.54)
Отметим два важных частных случая краевого условия (2.54).
1. Коэффициент теплообмена равен нулю,
0h
(на границе тела нет
теплообмена с окружающей средой); в этом случае краевое условие
принимает вид
0.
u
n
(2.55)
2. Коэффициент теплообмена является достаточно большим.
Перепишем условие (2.54) в виде
,
ku
uu
hn
откуда при
h
получаем
0,uu
или
.uu
(2.56)
Краевое условие (2.56) означает, что на границе
поддерживается
постоянная температура.
Таким образом, задача о распространении тепла в пространстве (для
однородного тела без тепловых источников) формулируется следующим
образом.
6А6 (Задача). Найти решение
, , ,u u x y z t
уравнения
222
2
2 2 2
u u u u
a
t
x y z
,
удовлетворяющее начальному (2.53) и краевому (2.54) условиям (в
частном случае условию (2.55) или (2.56)).
В теории ДУ с ЧП доказывается, что при некоторых предположениях
относительно соответствующих функций поставленная задача имеет
единственное решение.
